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  1. 2017-2018. Álgebras de Grupo com Identidade de Laurent
     Descrição: Sejam K um corpo e G um grupo multiplicativo, finite ou infinito. Definimos o anel de grupo KG como sendo o conjunto de todas as somas formais da forma α = ∑ ax.x , com ax em K e x em K. Sendo que este é uma K-álgebra associativa com os elementos de G como uma base, com soma usual e produto definido distributivamente usando a multiplicação de grupo de G. O conceito de Anel de Grupo é relativamente antigo. Aparece implicitamente no artigo de A. Cayley [ 1] que é considerado o primeiro trabalho na teoria abstrata de grupos e foi introduzido explicitamente por T. Molien em 1897, mas veio a adquirir grande importância inicialmente, por causa de suas aplicações à teoria de representações de grupos, a partir dos trabalhos de E. Noether, R. Brauer e I. Schur( [12] e[13]). E também como exemplo temos o seu uso em criptografia. A pesquisa destina-se à análise da existência de identidades polinomiais para KG quando o grupo de unidades admite identidades especiais, com foco na conjectura de B.Hartley, os quais descreveremos adiante. Existência de tais identidades têm muitas implicações. Como exemplo podemos citar (em característica ?p? ) a caracterização do grupo G quanto a existência de subgrupos p-abelianos de índice finito mostrada em [11] capítulo 5. Na pesquisa vamos abordar o problema buscando estender as técnicas de [2], [3], [4] e [5] para o caso em que o grupo de unidades de KG admite não uma identidade de grupo mais sim uma identidade de Laurent a qual é usada em [2] no caso de álgebras algébricas. CONJETURA: Se U(A) satisfaz uma identidade de grupo (GI = ?group identity ?), uma identidade de semigrupo (SI = ?semigroup identity ?), então A satisfaz uma identidade polynomial (PI = ?polinomial identity?). No caso da álgebra de grupo de um grupo de torção esta conjetura é devida a B. Hartley Em um contexto mais geral temos a conjectura a seguir Conjectura: Seja G um grupo de torção e K um corpo. Se KG satisfaz uma LPI então KG é PI. O corpo K ser ou não finito é determinante para a confirmação da conjectura exatamente como descrito em [8]. A maior parte dos resultados confirmando a conjectura abordaram corpos infinitos. Isso se deve ao fato de que recursos utilizados em tais corpos foram praticamente inúteis para corpos finitos. Em [8] temos a confirmação da conjectura de B. Hartley para corpos finitos via o desenvolvimento de outros dispositivos de abordagem do problema. Em nossos esforços a conjectura citada acima mostrou o mesmo tipo de obstáculo. De modo que nos concentramos em corpos infinitos. Além disso, após a confirmação da conjectura sobre corpos infinitos e LPI com única palavra de grau máximo os recursos até então utilizados e conhecidos. Se mostraram ineficientes para o caso de corpos finitos com única palavra de grau máximo na LPI e ainda também desconhecemos o que ocorre com a existência de mais de uma palavra de grau máximo na LPI sendo o corpo infinito ou não. Essas questões levantadas aqui mostram que ainda temos uma gama de aspéctos a serem analisados. Referências 1- A. Cayley, On the Theory of Groups as Depending on the Symbolic Equation , Phil. Mag., 7(1854), 40 - 47. 2- Dokuchaev, M. and Goncalves, J. Z. Identities on units of algebraic algebras. J. Algebra, 250 (2002), 638-646. 3- Elashiry, M. I. and Passman, D. S. Rewritable groups. (preprint). 4- Giambruno, A., Jespers, E. and Valenti, A. Group identities on units of rings. Archiv Math. (Basel) 63, 4 (1994), 291-296. 5- Giambruno, A., Sehgal, S. K and Valenti, A. Group algebras whose units satisfy a group identity. Proceedings AMS 125, 3 (1997), 629-634. 6- Goncalves, J. Z. and Mandel, A. Semigroup identities on units of group algebras. Archiv. Math. (Basel) 57, 6 (1991), 539-545. 7- I.N, Herstein, Noncommutative Rings, The Carus Mathematical Monographs, AMS 1971. 8- Liu, C. H. Group algebras with units satisfying a group identity. Proceedings AMS. Situação: Concluído; Natureza: Pesquisa. Integrantes: Claudenir Freire Rodrigues - Coordenador.
     Membro: Claudenir Freire Rodrigues.
  2. 2015-2017. Classificação de Álgebras de Lacetes
     Descrição: Há alguns anos foi observada uma conexão entre álgebras de multi-lacetes (?multi-loop algebras?) e espaços principais homogêneos [Pi]. De fato, a cada álgebra de multi-lacetes sobre $C$, pode ser atribuído um espaço principal homogêneo (ou ?torsor?), e estes torsores podem ser estudados com a ajuda de técnicas da cohomologia não-abeliana . Assim o foco deste trabalho eram os conjuntos de cohomologia não-abeliana, que podem ser vistos como conjuntos de subgrupos finitos, abelianos de certos grupos algébricos lineares, chamados ?theta-grupos? (relacionados aos grupos de Heisenberg).. Situação: Concluído; Natureza: Pesquisa. Integrantes: Claudenir Freire Rodrigues - Integrante / Wilhelm Alexander Steinmetz - Coordenador / Stefan Josef Ehbauer - Integrante / Dimitry Logachev - Integrante.
     Membro: Claudenir Freire Rodrigues.
  3. 2014-2015. Identidades no Grupo de Unidades de uma Álgebra
     Descrição: Sejam K um corpo infinito, A uma K-álgebra unitária associativa e U(A) o seu grupo de unidades. A questão a seguir é tema de pesquisa amplamente estudado CONJETURA: Se U(A) satisfaz uma identidade de grupo (GI), uma identidade de semigrupo (SI), então A satisfaz uma identidade polynomial (PI). Em [1], foi abordada uma versão mais forte da Conjetura de Hartley para álgebras algébricas, susbstituindo (GI) ou (SI) por uma identidade de Laurent (LPI) arbitrária. Mais precisamente, foi provado: TEOREMA [ [1], Teorema 5]: Seja A uma álgebra localmente finita sobre um corpo infinito K. Se U(A) é LPI então A é PI. Além do mais, se A é não comutativa, então A é PI, desde que as unidades não centrais de A satisfaçam um identidade polinomial de Laurent. Agora considerando a conjectura de B. Hartley com identidade de Laurent (LPI), propomos o problema: Conjectura: Seja G um grupo de torção e K um corpo. Se KG satisfaz uma LPI então KG é PI. REFERÊNCIAS 1. Dokuchaev, M. and Goncalves, J. Z. Identities on units of algebraic algebras. J. Algebra, 250 (2002), 638-646. 2. Elashiry, M. I. and Passman, D. S. Rewritable groups. (preprint). 3. Giambruno, A., Jespers, E. and Valenti, A. Group identities on units of rings. Archiv Math. (Basel) 63, 4 (1994), 291-296. 4. Giambruno, A., Sehgal, S. K and Valenti, A. Group algebras whose units satisfy a group identity. Proceedings AMS 125, 3 (1997), 629-634. 5. Goncalves, J. Z. and Mandel, A. Semigroup identities on units of group algebras. Archiv. Math. (Basel) 57, 6 (1991), 539-545. 6. I.N, Herstein, Noncommutative Rings, The Carus Mathematical Monographs, AMS 1971. 7. Liu, C. H. Group algebras with units satisfying a group identity. Proceedings AMS 127, 2 (1999), 327-336. 8. Liu, C. H. and Passman, D. S. Group algebras with units satisfying a group identity II. Proceedings AMS 127, 2 (1999), 337-341. 9. Passman, D. S. Group algebras with units satisfying a group identity II. Proceedings AMS 125, 3 (1997), 657-662. 10. Passman, D.S.The algebraic structure of group rings, Dover, New York 2011.. Situação: Concluído; Natureza: Pesquisa. Integrantes: Claudenir Freire Rodrigues - Coordenador.
     Membro: Claudenir Freire Rodrigues.
  
  

Prêmios e títulos